産前・産後休業は取得できます。育児休業は会社が育児休業の対象者について労使協定を締結しているか確認してみましょう。

産前・産後休業については、勤続年数や雇用形態に関わらず、取得することが可能です。

育児休業については、原則、期間の定めのない正社員は取得できます。ただし、入社してからの期間が短い人については、会社が育児休業の対象者について従業員の過半数代表と労使協定を締結している場合、会社は「その事業主に継続して雇用された期間が1年に満たない労働者」からの育児休業の申出を拒むことができます。

派遣社員の時と正社員になってからの職場が同じでも、派遣社員として働いていた時の事業主（派遣会社）と正社員として働いている現在の事業主が異なりますので、「その事業主に継続して雇用された期間」は、現在の会社に採用されてからの勤続年数のみをカウントすることになります。
まずは、勤務先の労使協定の有無を確認してみてください。労使協定が無い場合は、採用1年未満でも取得可能です。

ここでいう1年は、「育児休業申出の日」の時点で判断します。
育児休業の申出は原則として、希望する「育児休業開始予定日の１か月前」までにしましょう。
育児休業開始日の１か月前までに「育児休業の申出」をし、その時点で勤続年数が1年を超えていれば、申し出た期間の育児休業が取得できます。
実際には、会社に妊娠を報告する時などに、「産休、育休をいつからいつまで取得して働き続けたい」など、ご自身の意向を事前に伝えた上で、正式な申出をする時期を検討する方がスムーズかと思います。